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"LIBERTÉ ET VÉRITÉ. PENSÉE MATHÉMATIQUE ET SPÉCULATION PHILOSOPHIQUE", D'IMRE TOTH : LIBÉREZ LES MATHÉMATICIENS !

Par Jean-Paul Thomas http://www.lemonde.fr/

Le livre d'Imre Toth, chercheur internationalement reconnu pour ses travaux sur l'histoire des géométries non-euclidiennes, prend pour cible Gottlob Frege (1848-1925), dont il pourfend les positions philosophiques avec une vigueur déconcertante.

Frege est le père fondateur de la logique moderne. Il est aussi un philosophe des mathématiques. Difficile d'accès pour les non-mathématiciens, son oeuvre a joué, par l'intermédiaire de Bertrand Russell, un rôle majeur dans les développements de la philosophie au XXe siècle. La critique frontale qu'en propose Imre Toth réunit deux essais. Le premier conteste la philosophie de Frege, le second décrit sa démarche mathématique. L'ordre retenu n'est pas judicieux. Il faut commencer par lire le second essai, d'ailleurs dépourvu de toute technicité mathématique, car la philosophie de Frege s'étaye sur son travail de mathématicien. Abordé ainsi, le livre d'Imre Toth est extrêmement séduisant, croisant la polémique politique la plus vive avec l'initiation limpide aux problèmes fondamentaux de la philosophie des mathématiques.

Dans son principe, le projet de Frege est sans mystère. Il s'inscrit dans un vaste mouvement pour rendre les mathématiques toujours plus rigoureuses. C'est pour cela qu'il s'attache à définir les notions les plus usuelles, les plus intuitives, comme celle de "nombre". Aux intuitions, il substitue les règles d'un système formel. Ainsi prend forme le "logicisme", c'est-à-dire la tentative de construire déductivement les mathématiques à partir des lois logiques. Ces lois, pour Frege, ne sont pas des conventions. Intangibles, elles s'imposent aux hommes, qui les saisissent mais ne les créent pas. C'est ce qu'on appelle le "platonisme" de Frege, fréquent chez les mathématiciens : ces derniers ont le sentiment de découvrir des objets et des lois qu'ils n'inventent pas mais qu'ils rencontrent, comme des navigateurs un continent inconnu.

Tirant les leçons des géométries non-euclidiennes - dont Frege était un adversaire acharné - Imre Toth dénonce ce platonisme élémentaire. Rien de tel que les géométries non-euclidiennes, en effet, pour montrer qu'il est possible de construire un édifice mathématique parfaitement cohérent, en écartant le fameux postulat des parallèles.

ENTRE DEUX MONDES

Un libre choix semble ainsi présider au travail du mathématicien, qui cesse de contempler pour créer. Mais la pensée de Platon ne se réduit pas à la distinction radicale entre deux mondes, le monde intelligible - celui que philosophes et mathématiciens contempleraient - et le monde de notre vie quotidienne, le monde sensible. Au contraire, Platon relève les difficultés nées de cette distinction. La philosophie de Platon est l'étude minutieuse des problèmes posés par le platonisme ! Toth le sait mieux que personne. De là le caractère éminemment astucieux de son propos : il se plaît à contester le "platonisme" de Frege, en commentateur érudit des dialogues tardifs de Platon, ceux qui instruisent le procès du platonisme scolaire.

Simple jeu d'esprit ? Nullement. Il est question de liberté. Celle du mathématicien, celle de l'artiste, celle du citoyen. Frege déniait sa propre liberté et s'inclinait devant les vérités qu'il découvrait. Politiquement conservateur, il affichait dans tous les domaines ce primat de la vérité sur la liberté. Imre Toth déploie les implications politiques d'une philosophie des mathématiques qui rapproche, sous le signe de leur commune liberté créatrice, les artistes et les savants.